目录
1.dy的定义2.可微与可导的关系3.dy的几何意义4.微分的运算法则5.dy再探索6.线性近似
1.dy的定义
在介绍什么是dy之前，先回顾一下之前的一些概念： 设，
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x), 若:
lim
Δ
x
→
0
Δ
y
=
f
(
x
0
+
Δ
x
)
−
f
(
x
0
)
=
0
\lim_{\Delta x \to 0}\Delta y=f(x_0+\Delta x )-f(x_0)=0
Δx→0limΔy=f(x0+Δx)−f(x0)=0 则：函数在
x
0
x_0
x0处连续， 若：
lim
Δ
x
→
0
Δ
y
Δ
x
\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}
Δx→0limΔxΔy存在，则函数在
x
0
x_0
x0处可导。
考虑下面这种情况， 在更一般的情况下，也是这样，在
x
0
x_0
x0处，我们定义如下： 若
Δ
y
=
A
Δ
x
+
o
(
Δ
x
)
\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)
Δy=AΔx+o(Δx),其中A是与
Δ
x
\Delta x
Δx无关的常数，则称f（x）在
x
0
x_0
x0处可微，
A
Δ
x
A\Delta x
AΔx称为函数在
x
0
x_0
x0处的微分。记作
d
y
=
A
Δ
x
dy=A\Delta x
dy=AΔx
其实，我们从上面的图里面也可以看到，
A
Δ
x
A\Delta x
AΔx也就是图中画阴影的部分，已经相当接近
Δ
y
\Delta y
Δy了
2.可微与可导的关系
我自第一次学这门课到现在，一直知道对于一元函数来讲，可微与可导是一样的。 可导的定义我们非常熟悉，可微的概念我们也介绍了，下面我们推导一下，这两者究竟有什么关系 因此，我们发现了，可微与可导是等价的，且可微定义里面的这个常数A其实就是在那个点的导数
f
′
(
x
0
)
f\prime(x_0)
f′(x0)。
3.dy的几何意义
如上图。请务必记住下面这句话：
Δ
y
\Delta y
Δy是函数y在
x
0
x_0
x0处的增量
d
y
dy
dy是函数y在
x
0
x_0
x0处沿着切线的增量
这种思想我们以后也会经常遇到，在一个点的局部拿切线去近似这个曲线。
4.微分的运算法则
5.dy再探索
若函数
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x)在x=
x
0
x_0
x0处可微，则有
d
y
=
f
′
(
x
0
)
Δ
x
dy=f\prime(x_0)\Delta x
dy=f′(x0)Δx
看下式
lim
Δ
x
→
0
Δ
y
d
y
=
lim
Δ
x
→
0
Δ
y
f
′
(
x
0
)
Δ
x
=
lim
Δ
x
→
0
f
′
(
x
0
)
f
′
(
x
0
)
=
1
\lim_{\Delta x \to 0} \frac {\Delta y}{dy}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac {\Delta y}{f\prime(x_0)\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac {f\prime(x_0)}{f\prime(x_0)}=1
Δx→0limdyΔy=Δx→0limf′(x0)ΔxΔy=Δx→0limf′(x0)f′(x0)=1
我们都知道，
Δ
y
\Delta y
Δy与dy都是当
Δ
x
\Delta x
Δx趋于0时的无穷小，由上式可以看出两者是等价无穷小。 此时我们再看导数除了定义的另一种表达：
d
y
d
x
=
f
′
(
x
)
\frac{dy}{dx}=f\prime(x)
dxdy=f′(x) 由此式可以看出，导数是两个微分的商，因此，导数又称微商
6.线性近似
由第五节的推导可以看出，在
Δ
x
\Delta x
Δx趋于0时，
d
y
≈
Δ
y
dy \approx \Delta y
dy≈Δy 即：
f
′
(
x
0
)
Δ
x
=
f
(
x
0
+
Δ
x
)
−
f
(
x
0
)
f\prime(x_0)\Delta x=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)
f′(x0)Δx=f(x0+Δx)−f(x0) 令
x
=
x
0
+
Δ
x
x=x_0+\Delta x
x=x0+Δx,也即：
f
′
(
x
0
)
(
x
−
x
0
)
=
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
f\prime(x_0)(x-x_0)=f(x)-f(x_0)
f′(x0)(x−x0)=f(x)−f(x0) 移项得：
f
′
(
x
0
)
(
x
−
x
0
)
+
f
(
x
0
)
=
f
(
x
)
f\prime(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=f(x)
f′(x0)(x−x0)+f(x0)=f(x) 由此我们引入了几个常用的线性近似（通常在x=0时）。
为上一句的“由此”注解，其实我们也可以由导数的定义得到此近似
lim
x
→
x
0
=
f
(
x
)
−
f
(
x
0
)
x
−
x
0
=
f
′
(
x
0
)
\lim_{x \to x_0}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f\prime(x_0)
x→x0lim=x−x0f(x)−f(x0)=f′(x0) 移项得
f
(
x
)
≈
f
(
x
0
)
+
f
′
(
x
0
)
(
x
−
x
0
)
f(x)\approx f(x_0)+f\prime (x_0)(x-x_0)
f(x)≈f(x0)+f′(x0)(x−x0)
在
x
0
=
0
x_0=0
x0=0附近，有下列式子：
1
+
x
n
≈
1
+
1
n
x
\sqrt[n]{1+x}\approx1+\frac{1}{n}x
n1+x
≈1+n1x
sin
(
x
)
≈
x
\sin(x)\approx x
sin(x)≈x
tan
(
x
)
≈
x
\tan(x)\approx x
tan(x)≈x
e
x
≈
x
+
1
e^x\approx x+1
ex≈x+1
l
n
(
1
+
x
)
≈
x
ln(1+x)\approx x
ln(1+x)≈x
注意区分上述式子与等价无穷小的区别，如
e
x
≈
x
+
1
e^x\approx x+1
ex≈x+1在x=0处便不是无穷小量。
本文到此结束，感谢读者耐心读完。